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棋盘上的数学问题

棋盘上的数学问题

——赋值法的运用

上海市爱国学校八(1)班级 作者王斯羽 指导教师郭鸣凤

摘要: 通过一道棋盘上的数学问题,来表现运用赋值法的好处和优点。

关键词:赋值法 棋盘 染色

前言:

我们都知道有这么一个故事:古时有个皇帝,爱上围棋游戏,决定嘉奖游戏的发明者。结果发明者的愿望是让皇帝赏他几粒米,在棋盘上的第一格放上一粒米,在第二格上放上两粒米,在第三格上加倍至四粒……依此类推,直到放满棋盘。结果最后是1800亿万粒米。总数相当于当时世界的米粒总数的10倍。小小的棋盘却能有如此大的创造力.那么我们就来探究一下棋盘上的数学问题。

 

问题的提出:

1990×1990的方格表中每一个方格都分别染成黑色或白色,使得关于方格变得中心相对称的每两个方格所染的颜色都互不相同。试问,是否可以染的是每一行和每一列中黑格和白格的数目都相等。

 

解决问题的方法:

*赋值法

将问题中的某些对象用适当的数表示之后,再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式有:对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。

令白格为1,黑格为-1(赋值法)

过正方形中心O作正方形相邻两边的平行线,将正方形分成四个995×995的方格棋盘。

设这四个995×995方格棋盘中个数之和分别为S1S2S3S4

由题意S1+S4=0S2+S3=0

995是一个奇数

S1≠0S2≠0S3≠0S4≠0

于是S1S4必须满足

S10S40S40S10

不妨设S10S40

①若S20

S1+S20

∴大正方形上面995行中必存在有某行,该行各数之和大于0

于是该行黑格数与白格数不相等。

②若S20

S4+S20

∴大正方形右侧995列中必存在有某列,该列各数之和小于0

于是该行黑格数与白格数不相等。

 

问题的总结:

通过本次的研究发现,染色法和赋值法是解决棋盘问题的两种简单、便捷的方法。就它们的本身来说,染色方法是采用对棋盘问题进行形象分类的方法。一般来说能使用染色法来解决的题,同样可采用赋值法来解,只需要将染成某一种颜色的对象换成赋给对象一个数值就可以了。但是赋值方法的使用范围要更广泛一些,我们可将问题所研究的对象给与适当的数值,然后利用这些数值的大小、正负及奇偶性等不同方面来进行推理和论证。

 

参考文献

赋值法资料搜索于www.baidu.com